La Geometría no euclidiana y la Geometría de n dimensiones
Introducción: La geometría y Euclides
1. LAS NUEVAS GEOMETRÍAS. SURGIMIENTO, POPULARIZACIÓN E IMPLICACIONESDE LA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA Y LA GEOMETRÍA DE n DIMENSIONES
1.1. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA
1.2. GEOMETRÍA DE n DIMENSIONES
1.3. POPULARIZACIÓN E IMPLICACIONES DE LAS NUEVAS GEOMETRÍAS
2. LAS NUEVAS GEOMETRÍAS Y EL ARTE: JULES HENRI POINCARÉ Y MARCEL DUCHAMP
2.1. POINCARÉ Y DUCHAMP
2.2. MARCEL DUCHAMP: TROIS STOPPAGES ÉTALON (1913-14)
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA Y EUCLIDES
La Geometría es concebida como la parte de la Matemática que trata de las propiedades de las figuras en el plano y en el espacio, y que junto a la Aritmética y el Álgebra y Análisis conforma el conjunto del edificio matemático. Pues bien, como afirma Gerhard Frey, “hay diversas geometrías, pero sólo hay una aritmética” . Una aproximación al origen histórico de la geometría nos la muestra surgiendo a requerimiento de una serie de necesidades de la vida práctica relativas a la medida y limitación de las tierras. Según Frey, la geometría surgió de la necesidad de agrimensura de las tierras. De ahí el nombre de geometría que tomó desde un principio. Este surgimiento ha de situarse más globalmente. En este sentido, ha de contextualizarse el nacimiento de la matemática, en lejanos tiempos en los que la reflexión jugaba un escaso papel, como un nacimiento íntimamente ligado a la realidad circundante. Ha de entenderse en este sentido la conexión entre el nacimiento histórico del número y el nacimiento del concepto de propiedad en la Prehistoria.
Los conocimientos matemáticos más antiguos llegados hasta nosotros aparecen en relación con fenómenos de dos tipos: socio-económicos y celestes. En este contexto, no es de extrañar que nuestro sistema decimal provenga de los dedos de las manos, lo que relaciona la estructura decimal de nuestro sistema numérico con la realidad. A su vez, “el sistema sexagesimal parece estar relacionado de una parte con los conocimientos experimentales astronómicos y de otra con los conocimientos experimentales geométricos”. Entre dichos conocimientos experimentales geométricos, obtenidos a su vez por métodos experimentales, pueden situarse unos documentos caldeos del tercer milenio a.C. que estipulaba que para medir tierras las superficies habían de dividirse en rectángulos, triángulos y trapecios, de manera que las primeras propiedades acerca de las figuras fueron establecidas en las culturas primitivas por métodos experimentales.
Sólo con los griegos nació la matemática en sentido estricto, debido a la transformación de una mirada que hasta ellos había sido orientada exclusivamente hacia la praxis. Los griegos ya no miraban sólo a la praxis, y “sobre la base de una actividad empírica”, como es la colocación de piedras (. :. ), “se suscitará un conocimiento intuitivo, que finalmente conducirá a un conocimiento racional” . Y sólo en Grecia nació la geometría en el sentido moderno de la misma, ignorándose el grado de influencia que los griegos podían haber recibido de los ensayos experimentales de otros pueblos mediterráneos. Fueron los griegos los que introdujeron la geometría moderna, entendida como demostración de propiedades generales, prescindiendo de la experiencia de su comprobación.
Importante para el tema que nos ocupa, y pilar fundamental de la geometría como ciencia deductiva es Euclides (arriba en la imagen) (n.330-m.275), autor de los Elementos de geometría. En el contexto de la exitosa ciencia helenística en Alejandría, Euclides realizó fundamentalmente una labor de recopilación y resumen de la obra de sus predecesores. Entre ellos han de destacarse Tales de Mileto (n.624 – m.546), quien parece que introdujo en Grecia saberes de la geometría egipcia, Pitágoras (n. hacia 572-m.496?) y los pitagóricos, que concebían los números espacialmente, fundiendo el punto geométrico y la unidad aritmética en el seno de un pensamiento científico-místico, y Eudoxio (n.408-m.355), astrónomo y matemático griego al que Euclides debe en gran parte el material utilizado.
No obstante, la importancia de la labor desarrollada por Euclides estriba en el desarrollo de un método inspirado en la lógica deductiva aristotélica. Euclides divide sus Elementos de geometríaen trece libros, que se distribuyen temáticamente del siguiente modo: teoría de los planos (libros I al IV), teoría de las proporciones (libro V), aplicación de la teoría de las proporciones a los planos (libro VI), teoría de los números (libros VII al IX), irracionalidad de los números no algebraicos (libro X) y teoría de la geometría del espacio (libros XI al XIII). Con esta distribución, Euclides elabora un edificio deductivo sistemático basado en unos principios (diferenciados en definiciones, postulados y nociones comunes) de los que deduce unos teoremas que, de ese modo, no son inventados.
En el sistema euclidiano, las definiciones se ocupan de delimitar los conceptos, es decir, las “entidades matemáticas” que van a ser utilizadas. Así, “punto es aquello que no tiene partes”, y “línea es longitud sin latitud”. Por lo que respecta a los postulados, estos son una serie de “primeros principios”, entendidos en sentido aristotélico, que son propios de la disciplina en cuestión. Entre ellos, ha de destacarse para el tema que nos ocupa el quinto postulado, que en formulación de John Playfair (s. XVIII) puede enunciarse así: “Por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a dicha recta”. Una enunciación semejante propone: “A través de un punto dado puede ser dibujada sólo una paralela a una recta dada”. Por fin, las nociones comunes se encargan de expresar una serie de principios que son comunes a todas las ciencias y a todo razonamiento. Ejemplos de nociones comunes son: “Cosas iguales a una y la misma son iguales entre sí” y “el todo es mayor que las partes”. Apoyándose en las definiciones, postulados y nociones comunes y con el uso de regla y compás, Euclides se encarga de construir unos teoremas en los que sólo aparecen figuras o “entidades” que han sido previamente definidas. Así, por ejemplo, el primer teorema de la primera parte se encarga de, “dada una recta delimitada, construir sobre ella un triángulo equilátero”. Los teoremas que sigan han de apoyarse, a su vez, en los teoremas anteriores.
Tendrán que transcurrir más de veinte siglos para que un tipo de geometría alternativa a la euclidiana sea elaborada consistentemente. De este modo, “los principios de una geometría no euclidiana consistente fueron inicialmente formulados en la década de 1820, mientras que la primera gran discusión de geometría n-dimensional fue publicada en la década de 1840″ . La popularización tanto de la geometría no euclidiana como de la geometría n-dimensional desde finales del siglo XIX y, sobre todo, a comienzos del siglo XX, y la conversión de ambas en objetos de especulación para buena parte del arte emergente en ese momento es aquí el tema que nos ocupa.
1. LAS NUEVAS GEOMETRÍAS. SURGIMIENTO, POPULARIZACIÓN E IMPLICACIONES DE LA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA Y LA GEOMETRÍA DE n DIMENSIONES
1.1. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA
La geometría no euclidiana es llamada así por su oposición a uno de los postulados del sistema deductivo de Euclides, desarrollado en sus Elementos de Geometría. Se trata del quinto postulado, ya citado arriba, y que formula la imposibilidad de que por un punto exterior a una recta pueda ser trazada más de una paralela a dicha recta.
En la segunda década del siglo XIX, más en concreto alrededor de 1824, Carl Friedrich Gauss (en la imagen) concluyó que debían ser posibles geometrías alternativas a la de Euclides. Pese a ello, y como señala Henderson, “Gauss nunca publicó sus pensamientos sobre geometría no euclidiana, y por eso el honor de su descubrimiento oficial ha sido dado a Nikolai Ivanovich Lobachevski, ruso, y János Bolyai, húngaro, que separadamente formularon el primer sistema de geometría no euclidiana” . Por lo que al primero respecta, ha de señalarse que Lobachevsky publicó “On the Principles of Geometry” en el Kazan Messenger, describiendo la “geometría imaginaria” que, desde 1826, había desarrollado. Por su parte, Bolyai publicó en 1832 “Absolute Science of Space”, apareciendo como un apéndice al tratado matemático de su padre titulado Tentamen. No obstante, Bolyai había completado su manuscrito hacia 1829.
Así pues, una alternativa consistente al sistema de Euclides comienza a ser formulada. Lobachevsky y Bolyai optaron por la misma alternativa al citado quinto postulado de Euclides: a través de un punto exterior a una recta dada puede ser dibujada más de una línea que no corte la recta dada. Existen infinito número de líneas que, aunque se aproximen a la recta dada, como se extienden hasta el infinito, nunca se intersectarán. Similarmente, la suma de los ángulos de un triángulo será menos de los 180º de la geometría euclidiana. La consistencia lógica de la alternativa de Lobatchevsky la ha subrayado Poincaré al afirmar que sus proposiciones “no tienen ninguna relación con las de Euclides, pero no están menos lógicamente ligadas unas con otras” .
Un primer problema planteado por estas iniciales geometrías alternativas al sistema euclidiano era el de su visualización, problema que durará algunas décadas. Henderson apunta que “la visualización de esas propiedades de la geometría Lobachevsky-Bolyai fue grandemente facilitada en 1868 cuando el matemático italiano Eugenio Beltrami propuso la ‘pseudoesfera’ (en la imagen) como un modelo parcial para este tipo de geometría no euclidiana”. Esta introducción de Beltrami fue indicio del interés por parte de los matemáticos hacia este tema, lo que ha de unirse a que Gauss ganó prestigio en la década de los 60, dando a su vez prestigio a la geometría no euclidiana. Con ello, este tipo de geometría captó la atención de una joven generación de matemáticos, que la desarrollaron más.
Entre la citada joven generación ha de destacarse a Bernhard Riemann. En 1867, se publicó una conferencia que éste había pronunciado años atrás en la Universidad de Göttingen (titulada “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”), y en la que sugería la idea de un tipo más importante de geometría no euclidiana, distinguiendo entre espacio ilimitado y espacio infinito. Según Henderson, “en la superficie de una esfera el espacio sería ilimitado y sí finito, y la esfera, de hecho, es el modelo más fácilmente entendible para la geometría no euclidiana implicada por Riemann. Una vez que el espacio es finito y una línea no puede ser extendida indefinidamente (…), es posible establecer que ninguna línea puede ser dibujada paralela a una línea dada. Este principio es fácilmente aparente en la geometría de la esfera donde ‘líneas’ son definidas como grandes círculos y todas se encontrarán en los ‘polos’ de la esfera”.
De este modo, Riemann proponía una geometría en superficies de curvatura positiva constante, justo lo opuesto a la geometría de Lobachevsky-Bolyai se superficies de curvatura negativa constante. Además, Riemann sugirió una geometría en superficies de curvatura variable, en la que el movimiento de una figura cambiaría su tamaño y sus propiedades. Dicha deformabilidad de figuras en movimiento muestra su carácter no euclidiano en el hecho de que “aunque Euclides no había postulado formalmente la indeformabilidad de figuras en movimiento, su asunción es esencial para sus sistema”. Las figuras, negado el principio de indeformabilidad, pueden retorcerse al ser movidas. Este hecho será central en el análisis de la obra de Marcel Duchampque veremos más abajo. No en vano, fue este tipo tardío de geometría no euclidiana el que sería de gran interés para artistas de principios del siglo XX, tales como los cubistas y Marcel Duchamp. Por otra parte, ha de mencionarse la fundamental característica no euclidiana del continuo espacio-tiempo de Einstein: su curvatura, variable de un lugar a otro, es causada por la materia, distribuida en dicho continuo. Comprobada la falibilidad de Euclides, surge un espacio curvo que invalida la perspectiva lineal que había dominado desde el Renacimiento. Al tiempo, dicha falibilidad “podía sólo sumarse al reconocimiento creciente en el siglo XIX de la naturaleza relativa de las ‘verdades’ matemáticas o científicas que el hombre puede descubrir” .
1.2. GEOMETRÍA DE n DIMENSIONES
Como señala Henderson, este tipo de geometría emergió gradualmente durante el segundo cuarto del siglo XIX, “como una extensión natural de la geometría analítica, en la que una o más variables se añaden fácilmente a x, y y z” . Una breve aclaración sobre la geometría analítica ha de hacerse en este punto. Se trata de una rama de la geometría fundada por Descartes, y que es considerada como el comienzo de la geometría moderna. Básicamente, la geometría analítica consiste en aplicar el álgebra al análisis geométrico mediante la institución de algunos convenios. Se trata, fundamentalmente, de establecer un sistema de coordenadas que permite individualizar cada punto del espacio por un conjunto de números: dos para la geometría analítica plana y tres para la del espacio. Gracias a los citados convenios, es posible realizar la representación de rectas, curvas y superficies por ecuaciones y aplicar a su estudio el análisis algebraico automatizado. A pesar de que los sistemas de coordenadas y algunas relaciones entre las ecuaciones algebraicas ya habían sido establecidos desde los tiempos de Apolonio, es Descartes quien tiene el honor de haber dotado a esas relaciones de un carácter definitivo, y desarrollado un método que sería posteriormente enriquecido por el cálculo infenitesimal de Newton yLeibniz, estableciéndose una fecunda interdependencia. Por un lado, el álgebra perdió el carácter abstracto y formalista, por otro, todo esto permitió un gran avance de la geometría.
La cuarta dimensión podía ser tratada, pues, como una variable algebraica de la geometría analítica. Si en la esquina de una habitación nos planteamos visualizar una cuarta perpendicular que se inserte en la intersección de las otras tres dimensiones, podemos hacernos una idea de la dificultad de visualización que este tipo de geometría conlleva, dificultad que es provocada por nuestra percepción convencional del mundo.
Dos trabajos tempranos han de ser tenidos en cuenta. Se trata de “Chapters in the Analitical Geometry of n Dimensions”, artículo de Arthur Cayley publicado en el Cambridge Mathematical Journal en 1843, y de la obra de Hermann Grassmann, de 1844, titulada Die lineale Ausdehnungslehre. Por otra parte ha de reseñarse la importancia de la citada conferencia de Riemann, que “con su amplia visión de una geometría no euclidiana de n dimensiones también contribuyó a la historia de la geometría n-dimensional y sirvió como recordatorio de que las dos geometrías pueden ser juntadas, aunque son dos ramificaciones distintas de las matemáticas”. No obstante, hasta 1870 la geometría n dimensional careció de cuerpo unificado de principios y teorías propios, y permaneció como accesorio para otras investigaciones geométricas. En 1870, Cayley, en su “Memoir on Abstract Geometry”, sentó los principios generales de la geometría n dimensional. Diez años más tarde, en 1880, W. I. Stringham publicó en el American Journal of Mathematics un artículo titulado “Regular Figures in n-dimensional Space”, artículo que tuvo gran impacto, en el que aparecían ilustraciones de “hipersólidos”, y sobre el que hay numerosas referencias en los escritos de matemáticos a comienzos del siglo XX. No han de olvidarse tampoco, los numerosos artículos publicados por Victor Schlegel entre 1880 y 1890.
Con su progresivo surgimiento y desarrollo, la geometría n-dimensional requirió que fueran redefinidas algunas concepciones de principios geométricos: nuevas definiciones de paralelismo y perpendicularidad, “hiperespacio” o espacio de cuatro o más dimensiones y una serie de analogías entre las que se pueden destacar las de los “hipersólidos”. Por ejemplo, los“hipercubos” (en la imagen) se generan por el movimiento de un cubo en una nueva cuarta dimensión).
1.3. POPULARIZACIÓN E IMPLICACIONES DE LAS NUEVAS GEOMETRÍAS
Es a partir de la década de los sesenta del siglo diecinueve cuando las ideas sugeridas por las nuevas geometrías comienzan gradualmente a aparecer en literatura no matemática, dejando de ser, pues, de dominio exclusivo de los matemáticos. Importante fue la labor de divulgación que realizó Hermann von Helmholtz, escritor de artículos populares que suscitaron mucha atención en Inglaterra, Francia y Estados Unidos, y en los que se abordaban los axiomas de la geometría y la posible curvatura del espacio. Pero una verdadera oleada de interés nacional por el tema puede observarse en París hacia finales de la década de 1880. Entonces, se produjo un debate en la Revue Philosophique y la Revue de Métaphysique et de Morale que se centró en la controversia en torno a la naturaleza de los axiomas geométricos.
(en la foto), que ya desde 1887 defendía la idea de que los axiomas geométricos no son ni sintéticos a priori, oponiéndose a Kant, ni empíricos, sino convenciones, fue el principal responsable de la popularización de le geometría no euclidiana en París en los primeros años del siglo XX. En La ciencia y la hipótesis (1902), que posee una segunda parte dedicada al espacio y en ella un tercer capítulo titulado “Las geometrías no euclidianas”, escribe Poincaré: “Toda ciencia deductiva, y la geometría en particular, debe descansar sobre un cierto número de axiomas indemostrables. Todos los tratados de geometrías comienzan, pues, con el enunciado de esos axiomas” . Dichos axiomas, como decíamos y según Poincaré, “no son, pues, ni juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales. Son convenciones, (…) definiciones disfrazadas”. Según Poincaré, “una geometría no puede ser más verdadera que otra, solamente puede ser más cómoda” . Poincaré produjo numerosos artículos en la década de los años noventa y tres libros desde 1902 hasta 1908: La science et l’hypothese (1902), La valeur de la science (1904) y Science et méthode (1908).
Las nuevas geometrías lanzaban un desafío a la concepción kantiana. Kant (Crítica de la Razón Pura, 1781) había diferenciado entre juicios analíticos y sintéticos. Entre estos últimos, los axiomas de las matemáticas y la geometría pura son a priori. El espacio kantiano es a priori, pura forma de la sensibilidad, y para Kant la geometría es la euclidiana y el espacio el euclidiano. Pues bien, tal y como observa Henderson, “el sistema kantiano fue seriamente desafiado cuando Gauss, Lobachevsky y Bolyai probaron que ciertos axiomas de Euclides podían ser negados y una geometría consistente podían todavía ser elaborada. Difícilmente se puede decir que los axiomas de Euclides son originados dentro de nosotros, a priori, si podemos concebir otros sistemas de geometría” .
Por otra parte, la dificultad de representarse un espacio no euclidiano, se manifestaba en el hecho de que “a los ojos de aquellos que defendían la perspectiva de Kant sobre los axiomas geométricos, la geometría no euclidiana no era tan ‘legítima’ como la euclidiana, porque el espacio que engendraba no era ‘intuitivo’”. Por el contrario, para Helmholtz (“On the origin and Significance of Geometrical Axioms”, 1870), que había adecuado el mensaje de las nuevas geometrías a un público no matemático, la mente humana podía representarse, o intuir, el espacio no euclidiano. Durante el siglo XIX, la defensa por parte de los neokantianos de un espacio a priori y de la geometría euclidiana se basó reiteradamente en el siguiente argumento: las otras geometrías y espacios no ofrecían intuición real.
Pero las implicaciones de las nuevas geometrías han de verse en un contexto más amplio. No se trataba tan sólo de un desafío a la concepción kantiana por parte de la geometría no euclidiana. Más bien, la cuestión “sacudió sustancialmente los fundamentos de las matemáticas y la ciencia, ramas del conocimiento que durante dos mil años habían dependido de la verdad de los axiomas de Euclides. Como resultado, la creencia optimista en la aptitud del hombre para alcanzar la verdad absoluta gradualmente tomó el camino, a finales del siglo XIX, de reconocer la relatividad del conocimiento”.
La cuestión del número de dimensiones del espacio era realmente antigua. Ya Aristóteles, en suDe caelo, se había ocupado del tema, y Leibniz había propuesto la necesidad geométrica como solución: sólo tres líneas mutuamente perpendiculares entre sí pueden encontrarse en un punto. Por su parte, Kant también había especulado con el tema. Así, en Sobre las primeras causas de la distinción de regiones del espacio (1769), había introducido una determinada ejemplificación respecto a la mano derecha y la izquierda que sería retomada por otros más adelante. En laCrítica de la Razón Pura, Kant defendía que la tridimensionalidad es una proposición sintética a priori de la geometría. Henry More, centro del Círculo Platónico de Cambridge, en el que se daba un uso natural del término “cuarta dimensión”, había hablado en su Enchiridion Metaphysicum (1671) de la cuarta dimensión como el lugar de la idea platónica. En el siglo XVIII, d’Alembert y Lagrange hablaron del tiempo como la cuarta dimensión.
El interés de los matemáticos por el espacio n-dimensional creció en el siglo XIX a partir de la publicación, en 1867, de la citada conferencia que Riemann había pronunciado en 1854. Sin embargo, como afirma Henderson, “la discusión por Riemann de la posibilidad de espacio no euclidiano de n dimensiones pueden también haber causado la confusión que pronto se desarrolló, identificando la geometría no euclidiana con geometrías de más elevadas dimensiones” . En contra de esa concepción confusa, se trata de dos geometrías separadas, pero que pueden ser combinadas.
Por lo que respecta a la geometría n-dimensional y la cuarta dimensión, ha de señalarse Inglaterra como el primer sitio en el que emerge activamente la cuestión del número de dimensiones del espacio. Ejemplo popular de ficción sobre la cuarta dimensión lo constituyó la exitosa obra Flatland: A Romance of Many Dimensions (1884) deEdwin Abbott Abbott, basada en la idea de que podemos comparar el significado de la tercera dimensión para un ser bidimensional con el que nosotros tenemos de la cuarta dimensión. Sobre este libro y sus versiones cinematográficas trataba el post de da-beat (incluye videos) que supuso la chispa para las relecturas que originaron este post mio. El libro de Abott, no traducido al francés, era conocido a principios del siglo XX, y E. Jouffret lo cita y discute en suTraité élémentaire de géométrie a quatre dimensions (1903), obra que sería muy conocida entre los círculos de los pintores cubistas franceses de comienzos de siglo.
Por su parte Charles L. Dodgson, más conocido comoLewis_Carroll, desarrolló ciertas posibilidades humorísticas de la cuarta dimensión (Dynamics of a Particle, 1865, y Trough the looking glass, 1872). En la primera de las dos obras citadas, un par de enamorados son criaturas lineales y tiene un sólo ojo. Los amantes, intersectados por una línea, saben que podrán encontrarse por los lados en que los ángulos de dicha intersección sean menores que dos ángulos rectos.
Por lo que a la literatura popular respecta, Henderson recoge otros usos que se realizó de la cuarta dimensión en la época que nos ocupa: la “hyperspace philosophy”, la teosofía, y las historias de ciencia ficción y fantasía.
Ha de reseñarse que la hyperspace philosophy fue un tipo de filosofía popular, relacionada con la cuarta dimensión, y en la que sen encuadran autores como C. H. Hinton, primero de todos, C. Bragdon y P. D. Ouspensky. Se trata de autores que se oponen a las recetas matemáticas de la cuarta dimensión. Dicho de otra manera: “los autores de la ‘hyperspace philosophy’ creen firmemente en la realidad de una cuarta dimensión del espacio, sin embargo tienden a negarse a cualquier forma de positivismo que requiera prueba empírica de su existencia. Su tema subyacente es generalmente que la contestación a las malas consecuencias del positivismo y el materialismo es para el hombre desarrollar sus poderes de intuición, en orden a ‘percibir’ la cuarta dimensión de nuestro mundo, la verdadera realidad. La ‘hyperspace philosophy’ es una posición idealista, y sus propuestas frecuentemente se refieren al mundo de las ideas de Platón o al incognoscible nóumeno de Kant, la ‘cosa-en-sí’” . No en vano, el platónico mito de la caverna fue entendido como una analogía de la posibilidad de múltiples dimensiones. Podría entenderse ello como una ejemplificación más de el hecho de que, tal y como afirma Stephan Körner, “el platonismo es una propensión filosófica natural de los matemáticos” .
Por parte de los filósofos del hiperespacio, se defendía la necesidad del desarrollo de una suerte de visión interior y poder mental que supliera la imposibilidad física-visual de percibir con nuestros ojos corporales más dimensiones. Por otra parte, la teosofía, segundo ámbito de utilización de la cuarta dimensión en la literatura popular, ha de entenderse en un contexto antipositivista. Este tipo de literatura, fue muy conocido y citado por Kandinsky. Igualmente,Mondrian sintió una simpatía natural hacia la cuarta dimensión gracias a sus creencias teosóficas.
Por último, las historias de ciencia ficción y fantasías, como las de H. G. Wells (La máquina del tiempo, 1895, y El hombre invisible, 1897), y otros. Wells continuó la tradición de d’Alembert y trató el tiempo como la cuarta dimensión. No obstante, al comienzo de su viaje por el tiempo, el viajero explica la cuarta dimensión a sus amigos.
Ayudada por estos tres tipos de literatura popular, la cuarta dimensión llegó a ser una cuestión casi cotidiana a finales de la primera década del siglo XX. Por su parte, “la geometría no euclidiana nunca logró tal difusión popular, en parte porque no se prestó a tal variedad de interpretaciones. Alcanzando desde un ideal platónico o realidad kantiana -o incluso el Cielo- hasta la respuesta a todos los problemas que componen la ciencia contemporánea, la cuarta dimensión podía ser todas las cosas para todo el mundo. Como resultado, uno de sus aspectos más interesantes a principios del siglo XX es la variedad de formas en que la cuarta dimensión fue entendida y por tanto aprovechada en términos visuales por diferentes artistas en diferentes países” . En definitiva, en Francia la cuarta dimensión se popularizó más tarde que en Inglaterra, y se alineará, alrededor de 1900 con la controversia francesa en torno a la naturaleza de los axiomas geométricos. Poincaré resulta fundamental a este respecto. En dicho contexto, a principios del siglo XX, comenzarán su labor artística las vanguardias. Su conexión, de diferentes maneras, con lo dicho en torno a la geometría no euclidiana y la cuarta dimensión, vamos a ejemplificarla a continuación en Marcel Duchamp, en el que terminaremos centrándonos en una concreta obra suya.
2. LAS NUEVAS GEOMETRÍAS Y EL ARTE: JULES HENRI POINCARÉ Y MARCEL DUCHAMP
2.1. POINCARÉ Y DUCHAMP
Hemos visto que Poincaré produjo numerosos artículos en la década de los años noventa y tres libros desde 1902 hasta 1908. En el primero de esos libros, titulado La ciencia y la hipótesis (1902), Poincaré dedica al tema del espacio toda la segunda parte, que a su vez queda dividida en tres parágrafos titulados, por este orden, “Las geometrías no euclidianas”, “El espacio y la geometría” y “La experiencia y la geometría” .
En 1904, ve la luz el segundo de sus libros. Titulado La valeur de la science, dedica los capítulos tercero y cuarto de su primera parte al tema que nos ocupa. El capítulo tercero desarrolla bajo el título “La noción de espacio” las siguientes cuestiones: la geometría cualitativa, el continuo físico de varias dimensiones, las nociones de punto y de movimiento y el espacio visual. En el capítulo cuarto, titulado “El espacio y sus tres dimensiones”, Poincaré desarrolla una distribución en parágrafos que aborda los temas siguientes. El grupo de los movimientos, la identidad de dos puntos, el espacio táctil, la identidad de los diversos espacios, el espacio y el empirismo, el espíritu y el espacio y el papel de los canales semicirculares.
En el tercero de los libros citados, Science et méthode (1908), Poincaré desarrolla asuntos geométricos en diferentes momentos. En el segundo capítulo (“El porvenir de las matemáticas”) del libro primero dedica al tema que nos ocupa el tercer parágrafo, titulado “La geometría”. Ya en libro segundo, podemos encontrar todo un capítulo dedicado a “La relatividad del espacio”. Por último, en el capítulo cuarto (“Las nuevas lógicas”) de este libro segundo, dedica a la cuestión el parágrafo titulado también “La geometría” .
En la obra póstuma de Poincaré Últimos pensamientos, aparece un texto bajo el título “Por qué el espacio tiene tres dimensiones”. Este mismo texto ha sido posteriormente publicado como “El concepto de espacio”. En él, Poincaré afirma que los geómetras distinguen, en primer lugar entre la geometría métrica y la geometría proyectiva. En la primera de ellas, fundada en la noción de distancia, dos figuras son equivalentes cuando son “iguales”, entendida dicha igualdad, según Poincaré, “en el sentido en que los matemáticos dan a este vocablo”. Por su parte, la geometría proyectiva está fundada en la noción de línea recta. En este tipo de geometría, dos figuras no necesitan ser iguales para ser equivalentes. Para esto último, según Poincaré, “basta que pueda pasarse de una a otra mediante una transformación proyectiva, es decir, que una de ellas se convierta en la otra mediante una proyección en perspectiva” .
A la geometría proyectiva, nos dice Poincaré, se le suele llamar geometría cualitativa, en oposición a la geometría métrica, ya que en la primera la cantidad y la medida juegan un papel secundario, aunque no nulo. Así, afirma, “el hecho de que una línea recta no sea algo puramente cualitativo se observa en que no sería posible contrastar su rectitud sin hacer medidas o sin deslizar por ella ese instrumento llamado ‘regla’, que es una especie de instrumento de medida” .
Por último, Poincaré aborda un tipo de geometría puramente cualitativa en la que la cantidad está desterrada. Se trata del análisis situs. En este tipo de geometría, afirma, “dos figuras son equivalentes siempre que pueda pasarse de una a otra mediante una deformación continua, cualquiera que sea -por otra parte- la ley de esta deformación, siempre y cuando se respete la continuidad del proceso. Así, un círculo es equivalente a una elipse y a cualquier curva cerrada, pero no puede serlo a un segmento de recta, porque el segmento no está cerrado”. A continuación, Poincaré supone una posibilidad que habremos de poner en conexión con la obra de Marcel Duchamp que aquí nos ocupa.
Así, afirma el matemático francés: “supongamos que un cierto modelo es copiado por un torpe dibujante que altera las proporciones del original y traza caprichosas deviaciones en lo que debieran ser líneas rectas. Desde el punto de vista de la geometría métrica y la proyectiva, las dos figuras no pueden ser equivalentes. Sin embargo, lo son desde el punto de vista del análisis situs” . Ese mal dibujo, continúa Poincaré, no ha de afectar al geómetra. Las proporciones alteradas, los zig-zags de sus líneas rectas o las jorobas de sus círculos no han de impedir en buen razonamiento del geómetras. Al fin y al cabo, y como se había dicho frecuentemente, “la geometría es un arte de razonamientos bien hechos sobre figuras mal hechas” .
Como “héroe intelectual para su época” que era, y merecedor de una importante consideración por buena parte de los artistas de comienzos del siglo XX, Poincaré jugó un papel central en la popularización de las nuevas geometrías en los círculos artísticos del momento, siendo “la más autorizada e influyente voz en el asunto de las nuevas geometrías en el París de la preguerra” .
Por último, ha de abordarse brevemente la negativa argumentada de Poincaré a la posibilidad de una prueba empírica de la naturaleza euclidiana o no euclidiana del universo. Así, en 1902, Poincaré afirmaba en La ciencia y la hipótesis: “Ninguna experiencia estará jamás en contradicción con el postulado de Euclides; asimismo, ninguna experiencia estará jamás en contradicción con el postulado de Lobatchevsky”. La geometría no deriva de la experiencia, se trata de convenciones no arbitrarias que elegimos por comodidad: “La experiencia nos guía en esta elección que no nos impone y no nos hace reconocer cuál es la geometría más verdadera, sino cuál es la más cómoda”. Pues bien, esta negativa de Poincaré a la posibilidad de una prueba empírica que determinase la naturaleza euclidiana o no de nuestro universo, fue entendida en su momento como un apoyo a la distinción entre diferentes tipos de espacio. Al tiempo, “la negación de Poincaré de una prueba para el euclideanismo o no euclideanismo del universo también se aplica a la cuestión de cuántas dimensiones tiene, y de este modo abre la posibilidad de un mundo cuatri-dimensional” .
Máximo valedor, pues, de la posibilidad de alternativas espaciales en un contexto cultural en el que las diferentes vanguardias artísticas empiezan a germinar, no es de extrañar que la obra de Poincaré fuera lugar común para muchos de los artistas del momento. De hecho, “una comparación de Sobre el cubismo con La ciencia y la hipótesis (1902) de Poincaré demuestra que Gleizes y Metzinger (pintores cubistas y autores del primer libro) habían estudiado atentamente los escritos de Poincaré. En añadidura, Duchamp menciona el nombre de Poincaré varias veces en sus notas para el Gran Vidrio y demuestra su propio serio replanteamiento de un buen número de complejos problemas formulados por Poincaré” . Henderson se ha ocupado en profundidad de observar la conexión entre algunas de esas notas y los textos de Poincaré . No es este el lugar adecuado para entrar en una comparación exhaustiva entre Poincaré y Duchamp, entre los textos del primero y obras y escritos del segundo, sino sólo para apuntar la fuerza hermenéutica de tal conexión, y ejemplificarla brevemente en una obra muy concreta del segundo de ellos. Duchamp, en un contexto cultural en el que se discutía sobre las geometrías no euclidianas y la cuarta dimensión, se interesa por ellas e incorpora, de una manera muy peculiar, especulaciones provenientes de ámbitos matemáticos, y que había popularizado, fundamentalmente, Poincaré.
Trataremos, a continuación, de ejemplificar con una obra de Duchamp cómo las especulaciones en torno a intrincados asuntos geométricos fueron saliéndose de su natural contexto matemático, y llegaron a conectar con preocupaciones artísticas del momento. Buena parte de las vanguardias, han de ser estudiadas con la atención puesta en la geometría no euclidiana y la geometría de n dimensiones.
2.2. MARCEL DUCHAMP: TROIS STOPPAGES ÉTALON (1913-14)
Marcel Duchamp había nacido en 1887 en una pequeña población cercana a Ruán. En el seno de una familia en la que la práctica artística era algo cotidiano, el joven artista coquetea durante los años de su formación con diferentes estilos artísticos: impresionismo, cubismo, fauvismo, simbolismo. Los cubistas, como ha mostrado Henderson, estuvieron relacionados con la cuarta dimensión en tanto que ésta podía ser vista como una alternativa entendida en el contexto del rechazo cubista a la perspectiva tradicional .
Con el tiempo, la peculiar poética de Duchamp, buscará su lugar natural a medio camino entre el dadaísmo y las concepciones surrealistas. En las primeras décadas del siglo XX, Duchamp leyó algunos de los relatos novelescos que abordaron diferentes alternativas espaciales. Interesado en incorporar ciertos aspectos científicos a sus obras, con la ambigua intención de dotarlas de cierta precisión, a la vez que realizaba una leve desacreditación de la ciencia en tanto que verdad única, Duchamp realizó “la que es seguramente la más pura expresión de geometría no euclidiana en el arte de comienzos del siglo XX” . Se trata de sus Trois stoppages étalon[Tres zurcidos patrón] (en la imagen), realizada en torno a 1913-14.
La elaboración de la que fue posteriormente una de las obras favoritas de Duchamp fue del siguiente modo. Dejó caer tres hilos de un metro de longitud encima de tres lienzos pintados de azul. Pegó esos hilos sobre sus lienzos respectivos, respetando la forma en que los hilos habían quedado al caer. Después, cortó los lienzos y los pegó sobre unas placas de cristal. Por último, Duchamp añadió unas reglas de madera que habían sido recortadas por un lado según la forma curva y azarosa en que los hilos habían quedado al caer. Todo ello, lo encerró en una caja de madera con el irónico objeto de aislar esas medidas del resto de posibles medidas.
La irónica pretensión de crear unas reglas que medían el azar, la azarosa forma en que los hilos habían quedado al caer, se une en esta obra de Duchamp a la transformación de la unidad de longitud. Un metro, medida de los hilos, dejaba de ser línea recta y se transformaba en curva, y continuaba siendo un metro. Ello ha de entenderse en el contexto de las deformaciones curvas de la geometría no euclidiana.
Veíamos arriba que el tipo tardío de geometría no euclidiana de Riemann, con su propuesta de geometría en superficies de curvatura variable, en la que el movimiento de una figura cambiaría su tamaño y sus propiedades, fue el tipo de geometría alternativa que más influyó en los artistas de comienzos del siglo XX. Es muy posible que la deformación de los tres hilos que Duchamp dejó caer aluda al tipo de geometría comentado. Igualmente, ha de conectarse la obra de Duchamp con la concepción de Poincaré de la relatividad del espacio. Es decir, según el matemático y filósofo francés, el espacio “podría deformarse según una ley arbitraria y no nos daríamos cuenta de ello, si nuestros instrumentos participaran de la misma ley”. Análogamente, en los Trois stoppages étalon de Duchamp, las reglas participan de la deformación curva y aleatoria de los hilos.
También ha de ponerse la experiencia de Duchamp en conexión con la distinción de Poincaré, anteriormente aludida, entre geometría métrica, geometría proyectiva y análisis situs. Las caprichosas desviaciones trazadas por un mal dibujante que pretende trazar líneas rectas hacían que, según Poincaré, el modelo y el dibujo no pudieran ser equivalentes en geometría métrica y proyectiva, pero sí en el análisis situs. Como Poincaré escribió en otro sitio, la geometría del análisis situs es sólo cualitativa y “sus teoremas serían verdaderos si las figuras, en vez de ser exactas, fueran groseramente copiadas por un niño”.
Duchamp, interesado por la problemática geométrica en un momento en el que las discusiones sobre ella se habían extendido a los círculos artísticos, parece aludir con su obra a múltiples aspectos de las nuevas geometrías. Ello nos hace constatar, una vez más, la necesidad de interdisciplinariedad con vista a aclarar la historia del arte desde la historia de la matemática. Múltiples contactos, hermenéuticamente enriquecedores, podrían ser establecidos en tal sentido desde el trampolín de las geometrías no euclidianas y n dimensionales en lo que a unas vanguardias del siglo XX, en estado aún embrionario, respecta. Del cubismo al futurismo, pasando por Marcel Duchamp, la enorme popularización de las nuevas geometrías a principios de siglo, unido ello al mantenimiento de un cierto aire misterioso de las mismas desde la perspectiva del pueblo llano, facilita la incorporación de ciertas especulaciones, originalmente provenientes del campo matemático, en la labor artística.
CONCLUSIONES
Las especulaciones de las nuevas geometrías son adaptadas por buena parte de los artistas del siglo XX a su trabajo, y lo son por varios motivos. Uno de ellos es que el nuevo espacio supone un rechazo a la perspectiva estática y lineal tal y como desde el renacimiento se había incorporado en la historia del arte. Ahora, el modelo puede ser representado en deformación al moverse, y verse, como en el cubismo varios puntos de vista sobre el mismo simultáneamente. Otra razón de la citada adaptación es el hecho de que la popularización de las nuevas geometrías, pese a ser grande, no eliminó por completo un cierto aire misterioso de las mismas, lo que facilitaba su conexión con diferentes concepciones filosóficas. Hemos visto arriba su conexión con el nóumeno kantiano y con el mundo de las ideas platónico. A medio camino entre la teoría científica, la especulación teosófica, el problema de la hyperspace philosophy y las aventuras de ciencia ficción, las cuestiones en torno a las nuevas geometrías son tratadas por las vanguardias emergentes, y de modo particularmente importante por Marcel Duchamp.
Las nuevas geometrías se presentan originalmente como desarrollos matemáticos, que especulan en torno a posibilidades alternativas a Euclides ya las tres dimensiones tradicionales, su divulgación, en la que Poincaré desarrolla un papel fundamental, las extiende por territorios no especializados en matemáticas. Con dicha extensión, conectan naturalmente con preocupaciones de buena parte de los artistas del momento. Podría decirse que las nuevas geometrías son a la tradición geométrica lo que las vanguardias son a la tradición artística anterior a ellas.
Buena parte de la obra de Duchamp ha de leerse con un ojo puesto en los libros de Poincaré. Hemos tratado aquí de propiciar un encuentro en torno a una obra de Duchamp. Muy bien podría realizarse respecto a su obra completa. Pero no es éste el lugar. Parece claro que no se ha tratado aquí de alcanzar el sentido global de la obra de Poincaré ni el de la obra duchampiana, sino esbozar su relación. Podríamos decir aquí, sobre lo realizado, lo mismo que Poincaré afirmaba respecto a la ciencia: “lo que puede alcanzar no son las cosas mismas, sino solamente las relaciones entre las cosas, fuera de estas relaciones no hay realidad cognoscible” .
BIBLIOGRAFÍA
FREY, Gerhard, La matematización de nuestro universo, Madrid, Gregorio del Toro Editor, 1972.
HENDERSON, Linda Dalrymple, The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art, Princeton (New Jersey), Princeton University Press, 1983.
KÖRNER, Stephan (1960), Introducción a la filosofía de la matemática, México, Siglo XXI, 1967.
POINCARÉ, Jules Henri (1902), La ciencia y la hipótesis, Madrid, Espasa-Calpe, 1963 (3_ ed.), trad. del francés de Alfredo B. Besio y José Banfi.
(1904), El valor de la ciencia, Madrid, Espasa-Calpe, 1964 (3_ ed.), trad. del francés, pról. y notas de Alfredo B. Besio y José Banfi.
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, El espacio y el tiempo, México, Universidad Nacional Autónoma de México, 1964, pról. y trad. de Miguel Bueno.
